Jonggol Students: Artikel Matematika

Mengapa Determinan Matriks 2x2 adalah |A| = ad - bc? (Pembuktian)

Determinan matriks adalah bilangan tunggal yang diperoleh dari semua permutasi n² elemen matriks bujur sangkar. Jika subskrip permutasi elemen matriks adalah genap (inversi genap) diberi tanda (+) sebaliknya jika subskrip permutasi elemen matriks adalah ganjil (inversi ganjil) diberi tanda negatif (-). Inversi terjadi jika bilangan yang lebih besar mendahului bilangan yang lebih kecil dalam urutan subskrip permutasi elemen matriks.

Determinan matriks hanya didefinisikan pada matriks bujur sangkar (matriks kuadrat)

Notasi determinan matriks A :

$det(A)=\left | A \right |$

Adapun untuk menentukan Determinan matriks ada beberapa metode yaitu :

Metode Sarrus
Metode Minor dan Kofaktor
Metode CHIO
Metode Eliminasi Gauss
Metode Dekomposisi Matriks

Dari kelima metode tersebut memiliki kelebihan dan kekurangannya masing-masing dalam efektifitas perhitungannya, misal Metode Sarrus efektif untuk matriks berdimensi 3 (ordo 3x3).

Lihat juga E-book Matematika

Nah sekarang kita akan membuktikan determinan matriks A berordo 2x2 adalah ad -bc dengan menggunakan Metode Minor dan Kofaktor. Perhitungan determinan matriks dengan Metode Minor dan Kofaktor dapat diterapkan pada semua ukuran matriks bujur sangkar. Determinan matriks dapat dihitung dari minor dan kofaktor pada salah satu baris atau kolom matriks.

Sehingga secara matematis,
$det(A)=\sum_{j=1}^{n}a_{kj}.K_{kj}$

atau

$det(A)=\sum_{j=1}^{n}a_{kj}.(-1)^{k+j}M_{kj}$

Misal, terdapat matriks A dengan ordo 2x2 sebagai berikut :

$A=\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$

untuk menentukan deterninan A dengan Metode Minor dan Kofaktor kita harus menentukan basisnya apakah kolom atau baris, untuk kasus ini kita gunakan baris, kita gunakan baris ke-1 sehingga,

$det(A)=\sum_{j=1}^{n}a_{kj}.(-1)^{k+j}M_{kj}$

maka

$det(A)=a_{11}K_{11}+a_{12}K_{12}$

$det(A)=a_{11}.(-1)^{1+1}M_{11}+a_{11}.(-1)^{1+2}M_{12}$

$det(A)=a.(-1)^{2}\left |d \right |+b.(-1)^{3}\left |c \right |$

Terbukti !!!.

Nah itu pembuktian determinan matriks A berordo 2x2 adalah ad-bc, jika teman-teman ada cara atau pembuktian lainnya silakan cantumkan di kolom komenta atau via email dan berbagilah jika memang dirasa perlu^^

Sejarah Matematika : Sistem Numerasi Mesir Kuno, Mesopotamia (Babilonia), Yunani Kuno, China Kuno dan Hindu-Arab

Proses perkembangan matematika dimulai sejak adanya peradaban manusia. Karena hanya manusia dengan kemampuan komunikasi dan intelegensinya yang mampu menciptakan peradaban, jika dibandingkan dengan makhluk yang lain. Sehingga manusia mampu menciptakan beradaban yang didasarkan atas kontak sosial yang berkembang.

Sejarah Matematika

Dilihat dari catatan sejarah, munculnya peradaban manusia berawal dari perkembangan budaya manusia yang sangat ditentukan oleh kondisi geografis yang mendukung. Air dikenal manusia sebagai benda yang banyak memberikan pengaruh bagi kehidupannya. Begitu pula dengan pusat peradaban pertama manusia, yang rata-rata berasal dari daerah yang dilalui aliran sungai. Diantaranya adalah Mesopotamia, Mesir,India dan Cina. Peradaban kota Mesopotamia mempengaruhi peradaban sungai Nil di Mesir, sungai Kuning di Cina dan Lembah Indus di India.

Lihat juga e-Book Matematika